Question

[Hoàng Ninh]

Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB ,AC lần lượt tại D và E. Vẽ dường thẳng a qua A và song song với BC,  a cắt các đường BE, CD lần lượt tại G,K. Chứng minh A là trung điểm của KG.

Answer 1

[Trí Tiên亗]

Lần lượt áp dụng định lý Talet trong các \(\Delta BCD,\Delta ABC,\Delta BEC\) ta có :

+) \(\Delta BCD:\hept{\begin{cases}KA//BC\\K\in DC,A\in BD\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AD}{BD}\) (1)

+) \(\Delta ABC:\hept{\begin{cases}DE//BC\\D\in AB,E\in AC\end{cases}}\)  \(\Rightarrow\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}\) (2)

+) \(\Delta BEC:\hept{\begin{cases}AG//BC\\A\in EC,G\in BE\end{cases}}\) \(\Rightarrow\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{EC}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{AK}{BC}=\frac{AG}{BC}\) \(\Rightarrow AK=AG\) mà\(A\in KG\left(A\in a\right)\)

\(\Rightarrow A\) là trung điểm của \(KG\) (đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Ta có: 

+) AG // BC => \(\frac{AG}{BC}=\frac{AE}{AC}\)

+) AK//BC => \(\frac{AK}{BC}=\frac{AD}{BD}\)

+) DE//AC => \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)

Từ 3 điều trên => \(\frac{AG}{BC}=\frac{AK}{BC}\)=> AG = AK 

Mặt khác A, K, G thẳng hàng

=> A là trung điểm KG